Question

下列命題中，真命題的個數為（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，則“p∧￢q”為假命題；
（4）函數f（x）=xsinx在（0，π）上有最大值，沒有最小值．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據正弦定理及三角形中“大邊對大角”，可以判斷（1）的真假；
根據向量投影的定義，計算出

AB

在

CD

上的投影，可判斷（2）的真假；
根據余弦函數和二次函數的圖象和性質，分別判斷命題p，q的真假，進而根據復合命題真假判斷的真值表得到答案．
利用導數法，求出函數的導數，分析其最值是否存在，可判斷（4）的真假，進而得到答案．

解答：解：在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB，故（1）正確；
∵

AB

=（3，4），

CD

=（-2，-1），則

AB

在

CD

上的投影為

AB • CD

| CD |

=

-10

5

=-2

5

，故（2）不正確；
∵x=0時，cosx=1，故命題p為真命題，
∵y=x²-x+1的圖象開口朝上，且與x軸沒有交點，故命題q為真命題，故“p∧￢q”為假命題，故（3）正確．
∵f（x）=xsinx，故f′（x）=sinx+xcosx，
令f′（x）=0，則x=-tanx，
∵存在x₀∈（0，π）使x=-tanx，故當x=x₀時，函數f（x）=xsinx取最大值，但沒有最小值，故（4）正確
故真命題有3個，
故選C

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦定理，向量的投影，對數函數的圖象和性質，正弦型函數的圖象和性質，其中（3）（4）較難