Question

棱長為3，各面都為等邊三角形的正四面體內任取一點P，由點P向各面引垂線，垂線段長度分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則d₁+d₂+d₃+d₄的值為______．

Answer 1

由于正四面體的邊長為3，
可得它的高為h=

6

3

×3=

6

如圖，設正四面體ABCD內有一點P，根據題意得
V_A-BCD=V_P-ABC+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-BCD，即：

1

3

S_△BCD×

6

=

1

3

S_△ABC×d₁+

1

3

S_△ACD×d₂+

1

3

S_△ABD×d₃+

1

3

S_BCD×d₄
∵正四面體的各個面是全等的正三角形，
∴兩邊約去

1

3

S_△BCD，可得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄
即d₁+d₂+d₃+d₄為定值

6

故答案為：

6