Question

【題目】已知函數．

（1）若，且在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為1？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數，的值為.

【解析】

試題分析：（1），由于函數在區間上單調遞增，所以在區間上恒成立，即在上恒成立，轉化為在上恒成立，根據函數單調性可知在區間上單調遞增，所以，因此；（2）假設存在實數使得在上最小值為，那么一定要滿足，由此限定出，又根據第（1）問時，函數在上單調遞增，但是不合題意，所以，令得的增區間為；令得的減區間為，于是，化簡整理可得，即，于是設，則上式即為，構造，通過判斷函數的單調性來計算時的值，然后求出的值.

試題解析：（1），

由已知在時恒成立，即恒成立，

分離參數得，右邊，所以正實數的取值范圍為．

（2）假設存在這樣的實數，則在時恒成立，且可以取到等號，故，即，故，解得．

從而這樣的實數必須為正實數，當時，由上面的討論知在上遞增，

，此時不合題意，故這樣的必須滿足，

此時：令得的增區間為；令得的減區間為．

故，

整理得，

即，

設，

則上式即為，構造，則等價于，

由于為增函數，為減函數，故為增函數，

觀察知，故等價于，與之對應的，

綜上符合條件的實數是存在的，即．