Question

設雙曲線C的中心在原點，它的右焦點是拋物線y2=

8 3

3

x的焦點，且該點到雙曲線的一條準線的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B，試問：當k為何值時，以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

分析：（1）先設出雙曲線的標準方程，根據拋物線的方程求得焦點坐標，進而根據焦點到雙曲線的一條準線的距離為

3

2

求得a，進而根據a，b和c的關系求得b，雙曲線方程可得．
（2）直線方程與雙曲線方程聯立消去y，根據判別式大于0和3-k²≠0求得k的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據OA⊥OB，可知y₂y₁+x₂x₁=0，把直線方程代入整理可得x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．進而根據韋達定理把x₁+x₂和x₁x₂代入求得k，然后檢驗k是否符合前面所求k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y2=

8 3

3

x的焦點為(

2 3

3

，0)，
∴設中心在原點，右焦點為(

2 3

3

，0)的雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
∵(

2 3

3

，0)到雙曲線的一條準線的距離為

3

2

，
∴

a2

c

=

2 3

3

-

3

2

=

3

6

．
∴a2=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

．∴b2=c2-a2=(

2 3

3

)2-

1

3

=1．
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0
由

△=4k2-4(-2)(3-k2)＞0 3-k2≠0

得-

6

＜k＜

6

(k≠±

3

)．①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，代入②，解得k=±1，滿足①．
∴k=±1時，以AB為直徑的圓過原點．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系．