Question

函數f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對任意定義域中的x₁，x₂成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：函數是一個分段函數，函數f（x）在其定義域內是單調減函數，故函數在每一段上是減函數，在整個定義域內也是減函數，
故當x＜0時，0＜a＜1． 當x≥0時，a-3＜0，且還有a⁰≥0+4a．

解答：解：∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對任意定義域中的x₁，x₂成立，
∴函數f（x）在其定義域內是單調減函數．又 f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

，
∴當x＜0時，0＜a＜1． 當x≥0時，a-3＜0，a＜3．
且還有a⁰≥0+4a，a≤

1

4

． 綜上，0＜a≤

1

4

，
故答案為：（0，

1

4

]．

點評：本題考查減函數的定義，指數函數、一次函數的單調性，體現了分類討論的數學思想．