Question

【題目】如圖，在三棱錐中，N為CD的中點(diǎn)，M是AC上一點(diǎn).

（1）若M為AC的中點(diǎn)，求證：AD//平面BMN；

（2）若，平面平面BCD,，求直線AC與平面BMN所成的角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由，即可證明出AD//平面BMN；

（2）向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，求出以及面BMN的法相量，利用直線AC與平面BMN所成的角為，則即可求出AC與平面BMN所成的角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值。

（1）證明：如圖，在中，因?yàn)?/span>M，N分別為棱AC，CD的中點(diǎn)，連接MN，

所以，又平面BMN，平面BMN，

所以平面BMN

（2）解：取BD的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)槠矫?/span>平面BCD，平面平面BCD=BD，,平面ABO,

所以平面BCD，所以.

又，平面ABO

所以平面ABO,

平面ABO,所以

連接ON,所以,所以,

如圖建系，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，則

所以，則

設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為，

則，即

令，則

設(shè)直線AC與平面BMN所成的角為，

則

又，所以，

所以直線AC與平面BMN所成的角的余弦值為