Question

已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）判斷函數f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=loga

1+x

1-x

，求出它的定義域為（-1，1），再由F（-x）=-F（x）可得，此函數為奇函數．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要log_a（1+x）（1-x）＜0．分a＞1和 0＜a＜1，分別解對數不等式求出x的集合．

解答：解：（1）函數f（x）-g（x）是奇函數，
證明：令F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

x+1＞0 1-x＞0

 求得-1＜x＜1，故F（x） 的定義域為（-1，1）．
再由F（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-F（x），可得F（x）=f（x）-g（x）是奇函數．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要log_a（1+x）（1-x）＜0．
①當a＞1時，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得，0＜（1+x）（1-x）＜1，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
故使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為（-1，0）∪（0，1）．
②當 0＜a＜1時，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得 （1+x）（1-x）＞1，解得 x∈∅，
此時，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為∅．

點評：本題主要考查對數不等式的解法，對數的運算性質的應用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．