【題目】如圖所示，直三棱柱
中， 
， 
， 
，點
， 
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）若二面角
的大小為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) 
.
【解析】試題分析：
(Ⅰ)連接
， 
,由中位線的性質可得： 
，利用線面平行的判斷定理即可證得
平面
.
(Ⅱ)結合直三棱柱的性質，分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設
，則
， 
， 
，據此可得平面
的一個法向量為
，平面
的一個法向量為
，則
，求解方程可得
，利用線面角的向量求法可得
.
試題解析：
（Ⅰ）連接
， 
,則
且
為
的中點，
又
為
的中點， 
，
又
平面
， 
平面
，故
平面
.
（Ⅱ）因為
是直三棱柱，所以
平面
，得
.因為
， 
，
，故
.以
為原點，分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設
，則
， 
， 
，
， 
， 
.
取平面
的一個法向量為
，
由
得
：令
，得
，
同理可得平面
的一個法向量為
，
二面角
的大小為
， 
，
解得
，得
，又
，
設直線
與平面
所成角為
，則
.
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案
課課優能力培優100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關, 現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表：
溫度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得： 
， 
， 
， 
，
，線性回歸模型的殘差平方和
，e8.0605≈3167，其中xi, yi分別為觀測數據中的溫度和產卵數，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程
=
x+
（精確到0.1）；
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為
=0.06e0.2303x，且相關指數R2=0.9522.
( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產卵數（結果取整數）.
附：一組數據(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線
=
x+
的斜率和截距的最小二乘估計為
=
；相關指數R2=
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某城市街道上一側路邊邊緣
某處安裝路燈，路寬
為
米，燈桿
長4米，且與燈柱
成
角，路燈采用可旋轉燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線
與燈的邊緣光線(如圖
， 
)都成
角，當燈罩軸線
與燈桿
垂直時，燈罩軸線正好通過
的中點．
（I）求燈柱
的高
為多少米;
（II）設
，且
，求燈所照射路面寬度
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《算法統宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉變，對我國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用，如圖所示的程序框圖的算法思路源于該著作中的“李白沽酒”問題，執行該程序框圖，若輸出的
的值為0，則輸入的
的值為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018貴州遵義市高三上學期第二次聯考】設拋物線
的準線與
軸交于
，拋物線的焦點為
，以
為焦點，離心率
的橢圓與拋物線的一個交點為
；自
引直線交拋物線于
兩個不同的點，設
．
（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（Ⅱ）若
，求
的取值范圍．
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