Question

已知函數(shù)f(x)=

x+1

x2+3

，x∈[0，a](a＞0)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）函數(shù)f（x）的值域恰為[

1

3

，

1

2

]，試求出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合．

Answer 1

（1）f(x)=

x+1

x2-1+4

=

1

x-1+ 4 x+1

=

1

x+1+ 4 x+1 -2

≤

1

2×2-2

=

1

2

?x=1時(shí)等號(hào)成立（4分）
即當(dāng)x=1∈[0，2]時(shí)f（x）的最大值為

1

2

（6分）
（2）假設(shè)存在這樣的自然數(shù)a滿足條件，
由（1）知當(dāng)x=1時(shí)，y_max=

1

2

則1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上單增，在[1，a]上單減；且f（0）=

1

3

所以只需f(a)=

a+1

a2+3

≥

1

3

（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a為自然數(shù)，所以a構(gòu)成的集合為{1，2，3}．（13分）