Question

 [2012·重慶卷] 已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．

(1)求異面直線CC₁和AB的距離；

(2)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

圖1－3

Answer 1

解：(1)因AC＝BC，D為AB的中點，故CD⊥AB.

又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，所以異面直線CC₁和AB的距離為CD＝＝.

(2)解法一：由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥面A₁ABB₁，從而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁為所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．

因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，又已知AB₁⊥A₁C，由三垂線定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，從而∠A₁AB₁，∠A₁DA都與∠B₁AB互余，因此∠A₁AB₁＝∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A，因此＝，得AA＝AD·A₁B₁＝8.

從而A₁D＝＝2，B₁D＝A₁D＝2，

所以在△A₁DB₁中，由余弦定理得

cos∠A₁DB₁＝＝.

解法二：如下圖，過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz.

設直三棱柱的高為h，則A(－2,0,0)，A₁(－2,0，h)，B₁(2,0，h)，C(0，，0)，從而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)．

由⊥得·＝0，即8－h²＝0，因此h＝2.

圖1－4

故＝(－2,0,2)，＝(2,0,2)，＝(0，，0)．

設平面A₁CD的法向量為m＝(x₁，y₁，z₁)，則m⊥，m⊥，即

取z₁＝1，得m＝(，0,1)．

設平面B₁CD的法向量為n＝(x₂，y₂，z₂)，則n⊥，n⊥，即

取z₂＝－1，得n＝(，0，－1)，所以

cos〈m，n〉＝＝＝.

所以二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值為.