Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，點D是AC₁的中點．
（1）求證：BD⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，證明

BD

•

AC

=0，

BD

•

AB1

=0，可得BD⊥AC，BD⊥AB₁，從而可得BD⊥平面AB₁C．
（2）求出平面AB₁C₁的一個法向量，平面AB₁C的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角C-AB₁-C₁的余弦值；
解法二：（1）分別取AC、AB₁中點E、F，連結DE，BE，BF，DF，證明BD⊥AC，BD⊥AB₁，利用線面垂直的判定定理，即可得到結論；
（2）連結CF，證明∠DFC為二面角C-AB₁-C₁的平面角，在△DFC中，利用余弦定理可求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

解答：解法一：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，如圖，

AC1

=(-1，1，1)，

AB1

=(-1，0，1)
則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），C₁（0，1，1），D（

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
則

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

AC

=(-1，1，0)，

AB1

=(-1，0，1)．
∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

AB1

=0．
∴BD⊥AC，BD⊥AB₁，且AC∩AB₁=A．
∴BD⊥平面AB₁C．
（2）設平面AB₁C₁的一個法向量為

n1

=(x，y，z)
∴

n1

⊥

AB1

，

n1

⊥

AC1

∴

n1

•

AC1

=0，

n1

•

AB1

=0
即有

-x+y+z=0 -x+z=0

令x=1，得

n1

=(1，0，1)
由（1）可知

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)是平面AB₁C的法向量
cos＜

n1

，

BD

＞=

n1 • BD

| n1 || BD |

=

1

6 2

=

6

3

．
即二面角C-AB₁-C₁的余弦值為

6

3

．
解法二：
（1）分別取AC、AB₁中點E、F，連結DE，BE，BF，DF，
∵D、F是AC₁、AB₁的中點，則DE∥CC₁，DF∥B₁C₁
∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
則BE是BD在平面ABC內的射影．
∵AB=BC，∴BE⊥AC．
∴BD⊥AC
∵B₁C₁⊥BB₁，B₁C₁⊥A₁B₁，BB₁∩A₁B₁=B₁
∴B₁C₁⊥平面ABB₁
∴DF⊥平面ABB₁
則BF是BD在平面ABB₁內的射影．
∵AB=BB₁，∴BF⊥AB₁．
∴BD⊥AB₁．
又AC∩AB₁=A，
∴BD⊥平面AB₁C．
（2）連結CF．
由（1）知，DF⊥平面ABB₁，∴DF⊥AB₁
∵AC=B1C=

2

，∴CF⊥AB₁．
則∠DFC為二面角C-AB₁-C₁的平面角．
在△DFC中，CF=

2

×

3

2

=

6

2

，DF=

1

2

B1C1=

1

2

，CD=

1

2

AC1=

3

2

，
則cos∠DFC=

( 6 2 )2+( 1 2 )2-( 3 2 )2

2× 6 2 × 1 2

=

6

3

．
即二面角C-AB₁-C₁的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．