Question

在銳角三角形ABC中，已知sinA=

2 2

3

，AD是BC邊上的高，AD=

2

，BC=2．
（1）求：tan2

B+C

2

+

1-cosA

2

的值
（2）求證：點D是BC的中點．

Answer 1

分析：（1）在△ABC為銳角三角形中，求出 cosA=

1

3

，利用半角公式可得原式=

1-cos(B+C)

1+cos(B+C)

=

1+cosA

1-cosA

+

1-cosA

2

=

7

3

．
（2）設DC=x，∠CAD=α，∠BAD=β，求出tanα和 tanβ的解析式，由tanA=tan(α+β)=2

2

，求得x=1，即得
點D為BC的中點．

解答：解：（1）∵△ABC為銳角三角形sinA=

2 2

3

，∴cosA=

1

3

，
 原式=

1-cos(B+C)

1+cos(B+C)

=

1+cosA

1-cosA

+

1-cosA

2

=

7

3

．
（2）證明：設DC=x，∠CAD=α，∠BAD=β
則BD=2-x，tanα=

x

2

，tanβ=

2-x

2

，∵tanA=tan(α+β)=2

2

，
∴2

2

=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

x 2 + 2-x 2

1- 2x-x2 2

?x2-2x+1=0?x=1，∴點D為BC的中點．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，半角公式的應用，直角三角形中的邊角關系，求出tanA=tan(α+β)=2

2

，
是解題的關鍵．