Question

【題目】已知函數f(x)＝loga (其中a>0，且a≠1)．

(1)求函數f(x)的定義域；

(2)判斷函數f(x)的奇偶性并給出證明；

(3)若x∈時，函數f(x)的值域是[0,1]，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）(－1,1)（2）奇函數（3）3.

【解析】試題分析：（1）由真數大于零解得不等式解集，即為函數定義域（2）先確定定義域關于原點對稱，再研究f(x)與f(－x)關系：相反，最后根據奇函數定義確定奇偶性（3）先根據復合函數性質確定單調性：當a>1時，單調遞增；當0<a<1時，單調遞減再根據單調性確定最值取法，根據最值求實數a的值．

試題解析：(1)由條件知>0，解得－1<x<1，

∴函數f(x)的定義域為(－1,1)；

(2)由(1)知函數f(x)的定義域關于原點對稱．

f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，因此f(x)是奇函數．

(3)f(x)＝loga＝loga＝

loga＝loga.

記g(x)＝－1－，

則g(x)＝－1－在上單調遞增，

因此當a>1時，f(x)在上單調遞增，

由f＝1，得a＝3；

當0<a<1時，f(x)在上單調遞減，

由f(0)＝1得出矛盾，a∈；

綜上可知a＝3.