Question

（2012•四川）設函數f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不為0的等差數列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=（　　）

A．0

B．7

C．14

D．21

Answer 1

分析：根據f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，構造函數g（x）=f（x）-2，從而g（x）關于（3，0）對稱，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，從而g（a₄）為g（x）與x軸的交點，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．

解答：解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）關于（3，0）對稱
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0
∴g（a₄）為g（x）與x軸的交點
因為g（x）關于（3，0）對稱，所以a₄=3
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故選D．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查函數的對稱性，考查數列的性質，需要一定的基本功．