Question

【題目】如圖所示，曲線由部分橢圓：和部分拋物線：連接而成，與的公共點為，，其中所在橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）過點的直線與，分別交于點，（，，，中任意兩點均不重合），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在拋物線方程中，令，求出，坐標，再由離心率的公式和之間的關系，求出；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出橫軸上方的橢圓方程，由題意可知：過點的直線存在斜率且不能為零，故設直線方程為，代入橢圓、拋物線方程中，求出，兩點坐標，由向量垂直條件，可得等式，求出的值，進而求出直線的方程.

（Ⅰ）因為，所以，即，因此，代入橢圓方程中，得，由以及 ，可得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出橫軸上方的橢圓方程為：，由題意可知：過點的直線存在斜率且不能為零，故設直線方程為，代入橢圓得：，故可得點的坐標為：，顯然，同理將代入拋物線方程中，得，故可求得的坐標為：，

，，解得，符合，故直線的方程為：.