Question

已知f（x）是奇函數，且x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
求：（1）f（x）的解析式．    
（2）已知t＞0，求函數f（x）在區間[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）當x＜0時，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）
（2）由題意可得函數f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關于x=2對稱
①當t+1≤2時，函數f（x）在[t，t+1]上單調遞減，g（t）=f（t+1）
②當t＜2＜t+1時即1＜t＜2時，對稱軸在 區間內，g（t）=f（2）
③當t≥2時，函數f（x）在[t，t+1]上單調遞增，g（t）=f（t）

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數
∴f（-x）=-f（x）對任意的x都成立（1分）
又x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
∴x＜0時，-x＞0
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3…（5分）
∴f（x）=

x2-4x+3，x≥0 -x2-4x-3，x＜0

（6分）
（2）∵t＞0
∴當x∈[t，t+1]時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關于x=2對稱…（7分）
①當t+1≤2時，函數f（x）在[t，t+1]上單調遞減
∴g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1=t²-2t（9分）
②當t＜2＜t+1時即1＜t＜2時，對稱軸在 區間內
∴g（t）=f（2）=-1（11分）
③當t≥2時，函數f（x）在[t，t+1]上單調遞增
∴g（t）=f（t）=t²-4t+3（13分）
綜上所述，g(t)=

t2-4t+3，t≥2 -1，1＜t＜2 t2-2t，0＜t≤1

點評：本題主要考查了利用奇函數的性質求解函數的解析式，二次函數在閉區間上的最值的求解，要注意解題中的分類討論思想的應用．