Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，且，O，M分別為，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設是線段上一點，滿足平面平面，試說明點的位置；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）中點；（Ⅲ）．

【解析】

試題（Ⅰ）根據線面平行的判定定理，因為O，M分別為，的中點，所以，即可證明平面；

（Ⅱ）根據面面平行的性質定理，兩個平行平面被第三個平面所截，則交線平行，根據已知平面平面，與平面交于，所以，則能推出點的位置．

（Ⅲ）由條件平面平面，為等邊三角形，所以，再根據所給的數據求面積和高，即為體積．

試題解析：（Ⅰ）證明：因為O，M分別為，的中點，

所以．因為平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）解：連結ON，MN．因為平面平面，

且平面平面，平面平面，所以．

因為M為的中點，所以N為的中點．

（Ⅲ）解：因為，且，且O為的中點，

所以，．

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，可知三棱錐的體積．

其中，，，則．