Question

已知點P（2，2）在曲線y=ax³+bx上，如果該曲線在點P處切線的斜率為9，那么（i）ab=

 

；
（ii）函數f（x）=ax³+bx，x∈[-

3

2

，3]的值域為

 

．

Answer 1

分析：（1）對函數進行求導，根據在點P（2，2）的導數值等于9，且該點在曲線上可得到兩個方程，聯立的求得a，b的值，確定答案．
（2）根據（1）中結果確定函數的解析式，然后求導數后令導函數等于0求出x的值，然后判斷函數在端點和極值的大小即可得到函數在閉區間上的最值，從而得到值域．

解答：解：（1）點P（2，2）在曲線y=ax³+bx
則：8a+2b=2
∵y'=3ax²+b
∴當x=2 時，12a+b=9
聯立得：a=1，b=-3∴ab=-3
（2）由（1）知y=x³-3x
∴y'=3x²-3，令3x²-3=0，x=±1
∵f（1）=1-3=-2，f（-1）=-1+3=2，f（3）=27-9=18，f（-

3

2

）=-

27

8

+

9

2

=

9

8

∴y=x³-3x在x∈[-

3

2

，3]的最大值為18，最小值為-2，即值域為[-2，18]
故答案為：-3，[-2，18]．

點評：本題主要考查導數的幾何意義、函數在閉區間上的值域．屬基礎題．