Question

有下列命題：①在空間中，若OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'；
②直角梯形是平面圖形；
③{長方體}⊆{正四棱柱}⊆{直平行六面體}；
④若a、b是兩條異面直線，a?平面α，a∥平面β，b∥平面α，則α∥β；
⑤在四面體P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，則點A在面PBC內的射影為△PBC的垂心，其中真命題的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根據空間兩條平行線的性質，結合等角定理及其推論，可得①不正確；根據平面的基本性質，得到②正確；根據四棱柱的分類，得到{長方體}?{正四棱柱}，③不正確；根據線面平行的判定與性質和面面平行的判定定理，若在④中加上“b?平面β”這個前提，就是真命題，少了這一條④就不正確；根據線面垂直的判定與性質，可以證明出⑤是真命題．由此得到正確答案．
解答：對于①在空間中，若OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°，故①不正確；
對于②，因為直角梯形的上下底所在直線是兩條平行線，故直角梯形是平面圖形，所以②正確；
對于③，長方體是底面為矩形的直四棱柱，不一定是正四棱柱，故{長方體}?{正四棱柱}，③不正確；
對于④，a、b是兩條異面直線，若a?平面α，a∥平面β，b?平面β，b∥平面α，則α∥β．
但題設中沒有“b?平面β”這個前提，就不能得到平面α∥β，故④不正確；
對于⑤，在四面體P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，
設點A在面PBC內的射影為H，連接AH、PH，則
∵AH⊥面PBC，BC?面PBC，∴BC⊥AH
∵PA⊥BC，AH、PA是平面PAH內的相交直線，
∴BC⊥面PAH，結合PH?面PAH，可得PH⊥BC
同樣的方法，可以證出CH⊥PB，從而得到△PBC的垂心，故⑤正確．
綜上所述，正確的命題是②⑤，共2個
故選B
點評：本題結合空間中的幾個命題真假的判斷，考查了線面平行和線面垂直、面面平行等空間中直線與平面之間的位置關系的知識點，屬于基礎題．