Question

（2013•靜安區一模）已知向量

a

和

b

滿足條件：

a

≠

b

且

a

•

b

≠0．若對于任意實數t，恒有|

a

-t

b

|≥|

a

-

b

|，則在

a

、

b

、

a

+

b

、

a

-

b

這四個向量中，一定具有垂直關系的兩個向量是（　　）

• A．

  a

  與

  a

  -

  b

• B．

  b

  與

  a

  -

  b

• C．

  a

  與

  a

  +

  b

• D．

  b

  與

  a

  +

  b

Answer 1

分析：把已知不等式平方可得對于任意實數t，不等式（t+1）

b

2≥2

a

•

b

恒成立，故有

b

2=

a

•

b

=0，即

b

•（

a

-

b

）=0，可得

b

與

a

-

b

一定垂直，從而得出結論．

解答：解：把已知不等式平方可得 a²-2t

a

•

b

+t²•

b

2≥

a

2+

b

2-2

a

•

b

，
化簡可得 （t²-1）

b

2≥2（t-1）

a

•

b

，即 （t+1）

b

2≥2

a

•

b

．
由題意可得，對于任意實數t，（t+1）

b

2≥2

a

•

b

恒成立，故有

b

2=

a

•

b

=0，
即

b

•（

a

-

b

）=0，
∴

b

 與

a

-

b

一定垂直，
故選B．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，求向量的模，兩個向量垂直的條件，屬于中檔題．