Question

數列{an}的前n項和為Sn＝2an－2，數列{bn}是首項為a1，公差不為零的等差數列，且b1，b3，b11成等比數列．

(1)求數列{an}與{bn}的通項公式；

(2)求證： <5.

 

Answer 1

（1）bn＝3n－1（2）見解析

【解析】(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，得an＝2an－1.

又由a1＝S1＝2a1－2，得a1＝2，所以數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以數列{an}的通項公式為an＝2n.

b1＝a1＝2，設公差為d，則由b1，b3，b11成等比數列，得(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，

解得d＝0(舍去)或d＝3，

所以數列{bn}的通項公式為bn＝3n－1.，

(2)證明：令Tn＝＝，①

2Tn＝2＋，②

②－①得

Tn＝2＋，

所以Tn＝，

又 >0，故Tn<5.