Question

把自然數按下表排列：

1      2     5      10     17    26

↓　  ↓　   ↓     ↓　  ↓

                       4  ←  3     6      11     18  

                                    ↓　   ↓　   ↓

                       9  ←  8  ← 7      12     19

                                           ↓　   ↓  

                       16 ←  15 ← 14 ←  13     20                       

                                                  ↓

                       25 ←  24 ← 23 ←  22  ← 21

（Ⅰ）求200在表中的位置（在第幾行第幾列）；

（Ⅱ）試求自上至下的的第m行，自左至右的第n列上的數；

（Ⅲ）求主對角線上的數列：1、3、7、13、21、……的通項公式和前n項和的求和公式。

Answer 1

解：把表中的各數按下列方式分組：（1），（2，3，4，），（5，6，7，8，9），……，

（Ⅰ）由于第n組含有2n－1個數，

所以第n組的最后一個數是

因為不等式的最小整數解為n=15，這就是說，200在第15組中，

由于，所以第15組中的第一個數是197，

這樣200就是第15組中的第4個數。

所以200在表中自上至下的的第4行，自左至右的第15列上；                    

（Ⅱ）如果，則第m行上的數自左至右排成的數列是以－1為公差的等差數列；這個數列的首項是第m行的第1個數，

即分組數列的第m組最后一個數為是1+3+5+…+（2m－1）=m²，則自上至下的第m行，自左至右的第n列上的數為=m²－n+1；

如果，則第n列上的數自上向下排成的數列是以1為公差的等差數列；

這個數列的首項是第n列的第1個數，

即分組數列的第n組的第一個數為{1+3+5+…+[2（n－1）－1]}=+1，則自上至下的第m行，自左至右的第n列上的數為=；                    

（Ⅲ）設表中主對角線上的數列為{}，即1，3，7，13，21，……，

則易知，即，

=[]+1

=2+1=                              

=

=

=