Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，

（Ⅰ）求證：AC⊥A1B；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：作AC的中點O，
∵A1A=A1C，且O為AC的中點，∴A1O⊥AC，
又側面AA1C1C⊥底面ABC，其交線為AC，且A1O平面AA1C1C，
∴A1O⊥底面ABC，
以O為坐標原點，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0， ），C（0，1，0），C1（0，2， ），B（1，0，0）．
則有： ， ，
∵ =0，∴AC⊥A1B；
（Ⅱ）解：平面AA1C的一個法向量為 ．
設平面A1CB的一個法向量 ，
由 ，取z=1，得 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）作AC的中點O，由A1A=A1C，且O為AC的中點，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性質可得A1O⊥底面ABC，以O為坐標原點，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，由 =0，可得AC⊥A1B；（Ⅱ）平面AA1C的一個法向量為 ，設平面A1CB的一個法向量 ，求出 ，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．