Question

（本小題滿分13分）
已知函數在區間，內各有一個極值點．
（I）求的最大值；
（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式．

Answer 1

（I）的最大值是16
（II）．

解：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，
設兩實根為（），則，且．于是
，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在點處的切線的方程是
，即，
因為切線在點處空過的圖象，
所以在兩邊附近的函數值異號，則
不是的極值點．
而，且
．
若，則和都是的極值點．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）．
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
設，則
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
由知是的一個極值點，則，
所以，又由，得，故．