Question

給出下列一些說法：
（1）已知△ABC中，acosB=bcosA，則△ABC為等腰或直角三角形．
（2）已知△ABC中，acosA=bcosB，則△ABC為等腰或直角三角形．
（3）已知數列{a_n}滿足

a 2 n+1

a 2 n

=p（p為正常數，n∈N*），則稱{a_n}為“等方比數列”．若數列{a_n}是等方比數列則數列{a_n}必是等比數列．
（4）等比數列{a_n}的前3項的和等于首項的3倍，則該等比數列的公比為-2．
其中正確的說法的序號依次是

（2）

．

Answer 1

分析：（1）直接利用正弦定理，化簡表達式，通過兩角和與差的三角函數化簡，即可判斷三角形的形狀．
（2）根據正弦定理把等式acosA=bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得sin2A=sin2B，進而推斷A=B，或A+B=90°．
（3）若{a_n} 為“等方比數列”，說明數列{a_n²}成公比為p的等比數列，而數列{a_n}的符號不能確定，故不一定成等比數列
（4）利用等比數列的通項公式，建立等式，即可求得等比數列的公比．

解答：解：（1）因為在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可知，sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A-B）=0，所以A-B=π，或A=B，因為A，B是三角形內角，所以A=B，三角形是等腰三角形，故（1）錯誤；
（2）根據正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
所以△ABC為等腰或直角三角形，故（2）正確；
（3）若數列{a_n} 為“等方比數列”，設足

a 2 n+1

a 2 n

=p=1
可得數列{a_n} 的各項的絕對值相等，但符號不能確定．
比如：1，1，-1，-1，1，1，-1，-1，…，
就是一個等方比數列，而不是等比數列，故（3）錯誤；
（4）設等比數列的首項為a₁，公比為q，則a₁+a₁q+a₁q²=3a₁，
∵a₁≠0，∴1+q+q²=3，∴q²+q-2=0
∴q=-2或q=1，故（4）錯誤．
故答案為：（2）

點評：本題主要考查了正弦定理的應用、等比數列的通項與求和等知識，屬中檔題．