Question

已知數列{a_n} 是一個首項為a₁，公比q＞0 的等比數列，前n項和為S_n，記T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

Answer 1

分析：分q=1、0＜q＜1、q＞1三種情況，分別求出S_n和T_n ，再根據數列極限的運算法則求出

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

解答：解：當q=1 時，S_n=na₁，T_n=（2n-1）a₁，（2分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

na1

(2n-1)a1

=

lim

n→∞

n

(2n-1)

=

1

2

．（1分）
當q＞0，q≠1 時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Tn=

a1(1-q2n-1)

1-q

，（1分）
∵

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

 

1-qn

1-q2n-1

，
當 0＜q＜1時，

lim

n→∞

qⁿ=0，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-0

1-0

=1．
當 q＞1時，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n-1

=

lim

n→∞

1 q2n-1 -  1 qn-1

1 q2n-1 - 1

=

0-0

0-1

=0．（2分）
綜上：

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1 2 ，  q=1 1 ，   1＞q＞0 0 ，  q＞1

．（1分）

點評：本題主要考查求數列極限的方法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．