Question

某港口的水深y（m）是時間t （0≤t≤24，單位：h）的函數，下表是該港口某一天從0：00時至24：00時記錄的時間t與水深y的關系：

t（h）	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
y（m）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經長時間的觀察，水深y與t的關系可以用y=Asin（ωx+?）+h擬合．根據當天的數據，完成下面的問題：
（1）求出當天的擬合函數y=Asin（ωx+?）+h的表達式；
（2）如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，船舶安全航行時船底與海底的距離不少于4.5m．那么該船在什么時間段能夠進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間．（忽略離港所需時間）
（3）若某船吃水深度為8m，安全間隙（船底與海底的距離）為2.5．該船在3：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.5m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，駛向較安全的水域？

Answer 1

分析：（1）根據數據，

A+h=13 -A+h=7

，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=

π

6

將點（3，13）代入可得?=0，從而可求函數的表達式；
（2）由題意，水深y≥4.5+7，即y=3sin

π

6

t+10≥11.5，t∈[0，24]，從而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；
（3）設在時刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），若使船舶安全，則10.5-0.5(x-3)≥3sin

π

6

x+10，從而可得3≤x≤7，即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．

解答：解：（1）根據數據，

A+h=13 -A+h=7

，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴y=3sin（

π

6

x+?）+10
將點（3，13）代入可得?=0
∴函數的表達式為y=3sin

π

6

t+10(0≤t≤24)
（2）由題意，水深y≥4.5+7，
即y=3sin

π

6

t+10≥11.5，t∈[0，24]，
∴sin

π

6

t≥

1

2

，

π

6

t∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k=0，1，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，該船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全進港．
若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時．
（3）設在時刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），
這時水深y=3sin

π

6

x+10，
若使船舶安全，則10.5-0.5(x-3)≥3sin

π

6

x+10，
即2-0.5x≥3sin

π

6

x，
∴3≤x≤7，
即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．

點評：本題以表格數據為載體，考查三角函數模型的構建，考查解三角不等式，同時考查學生分析解決問題的能力．