Question

數列的前n項和為，和滿足等式
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求證：數列是等差數列；
（Ⅲ）若數列滿足，求數列的前n項和；
（Ⅳ）設，求證：

Answer 1

（Ⅰ）="8" （Ⅱ）見解析（III）（Ⅳ）見解析

試題分析：（Ⅰ）令n=1,代入即可; （Ⅱ）利用兩邊同除以n+1,構造等差數列即可; （III）由（II）可知數列是等差數列,求出的解析式,再利用求出的通項公式，代入,求出，再利用錯位相減法求出數列的前n項和;（Ⅳ）由（III）知,代入,求出的通項公式,再求出其前n項和,最后利用放縮法得到所求結果.
試題解析：（Ⅰ）由已知:
（Ⅱ）∵,同除以n+1,則有：,所以是以3為首項,1為公差的等差數列.
（III）由（II）可知,  
 
當 經檢驗，當n=1時也成立                  
解得：           
（Ⅳ）∵