Question

已知函數(shù)在x=a處取得極值．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'（a）=0，可求出的值；
（2）將b用a表示，可求出函數(shù)g（x）的解析式，討論a的正負(fù)，分別求出函數(shù)的極值點(diǎn)，使極值點(diǎn)在開區(qū)間（0，1）上，建立不等式關(guān)系，解之即可．
解答：解（1）f'（x）=-x²+2bx-3a²
由題意知f'（a）=-a²+2ba-3a²=0則b=2a
∴
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³
則g'（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a）
令g'（x）=0，得x=a或x=-2a
若a＞0，當(dāng)x＜-2a或x＞a時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)-2a＜x＜a時(shí)，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=a時(shí)，g（x）有極小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，當(dāng)x＜a或x＞-2a時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)a＜x＜-2a時(shí)，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=-2a時(shí)，g（x）有極小值，
∴0＜-2a＜1即
所以當(dāng)或0＜a＜1時(shí)，g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及利用導(dǎo)數(shù)法求極值，同時(shí)考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．