Question

已知函數f（x）=a-

1

x

，且f（1）=0
（1）求a的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，0）上是增函數．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（1）=0，即可求a的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，0）上是增函數．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，∴f（1）=a-1=0，解得a=1，即a的值為1；
（2）∵f（x）=a-

1

x

，
∴設x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

1

x1

-a+

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數．

點評：本題主要考查函數值的計算以及函數單調性的證明，利用定義法是解決本題的關鍵．