Question

已知復數均為實數，為虛數單位，且對于任意復數。
（1）試求的值，并分別寫出和用、表示的關系式；
（2）將(、)作為點的坐標，(、)作為點的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，
當點在直線上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；
（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。

Answer 1

（1）
（2）點的軌跡方程為
（3）這樣的直線存在，其方程為或

（1）由題設，，
于是由，                           
因此由，
得關系式                                
（2）設點在直線上，則其經變換后的點滿足
，                                  
消去，得，
故點的軌跡方程為                       
（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設為，                           
法一：∵該直線上的任一點，其經變換后得到的點
仍在該直線上，
∴，
即，
當時，方程組無解，
故這樣的直線不存在。                                           
當時，由
得，
解得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，                      
法二：取直線上一點，其經變換后的點仍在該直線上，
∴，
得，                                           
故所求直線為，取直線上一點，其經變換后得到的點仍在該直線上。
∴，                                   
即，得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，