Question

(本題滿分13分) 已知函數,函數
（I）當時,求函數的表達式;
（II）若,且函數在上的最小值是2 ,求的值;
（III）對于（II）中所求的a值，若函數，恰有三個零點，求b的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）函數.（Ⅱ）。

解析試題分析： （1）先求解函數f(x)的導函數，進而得到第一問的解析式。
（2）∵由⑴知當時,,
分析導數的正負號，進而判定極值，得到最值。
（3）
所以，方程，有兩個不等實根運用轉化思想來得到。
解: （Ⅰ）∵,
∴當時,; 當時,
∴當時,; 當時,.
∴當時,函數. （4分）
（Ⅱ）∵由⑴知當時,,
∴當時, 當且僅當時取等號.由，得a="1" (8分)

令，得或x=b
（1）若b>1,則當0<x<1時，，當1<x<b,時，當x>b時，；
（2）若b<1,且b則當0<x<b時，，當b<x<1時，，當x>1時，
所以函數h(x)有三個零點的充要條件為或解得或 
綜合： （13分）
另解：
所以，方程，有兩個不等實根，且不含零根
解得： （13分）
考點：本題主要考查了函數的最值和函數的零點的綜合運用
點評：解決該試題的關鍵是運用導數的思想來判定函數單調性，進而分析極值，得到最值，同時對于方程根的問題可以轉換為圖像的交點問題解決。