Question

已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（1）（2）設(shè)切線，方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．函數(shù)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，得
，滿足極大值，極小值得

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．(1分) 曲線在點(diǎn)處的切線方程為：   ，    （2分）
即 ．           （4分）
（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使．    （5分）
于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程  有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．（6分）  記   ，則  ．      （（7分）
當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：

		0
		0		0
		極大值		極小值

（表10分）（畫(huà)草圖11分）由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則 （13分）   即   ．    （14分）
點(diǎn)評(píng)：幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率，第一問(wèn)利用幾何意義求得斜率；第二問(wèn)有三條切線即有三個(gè)切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不同的根，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即可通過(guò)極值判定，本題難度較大