Question

（本題13分）已知橢圓的方程是，點分別是橢圓的長軸的左、右端點，

左焦點坐標為，且過點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知是橢圓的右焦點，以為直徑的圓記為圓,試問:過點能否引圓的切線，若能，求出這條切線與軸及圓的弦所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由。

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）因為橢圓的方程為，（）， ∴ ，

即橢圓的方程為，    ∵ 點在橢圓上， ∴ ，

解得 或（舍），  由此得，

所以，所求橢圓的標準方程為.   …… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,又，則得

,

所以，即,  是，

 所以，以為直徑的圓必過點，

因此，過 點能引出該圓的切線，

設切線為,交軸于點，

 又的中點為，則顯然,

而 ,

所以的斜率為，

因此，過 點引圓的切線方程為：， 

 即

令，則，,又，

所以，

因此，所求的圖形面積是 =

…… 13分