Question

設二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：
①對稱軸方程是x=-1；②函數f（x）的圖象與直線y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）不等式f（x-t）≤x的解集是[4，m]（m＞4），求t，m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）對稱軸的計算公式可得到a，b的關系，函數f（x）的圖象與直線y=x相切，則可知函數與直線的方程組只有一解，由這兩個條件，可得a，b的值，從而得到函數解析式．
（2）首先算出f（x-t），代入不等式可知f（x-t）=x的根為4和m，分別代入，即可得到4和m的值．
解答：解：（I）∵二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1
∴b=2a∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴方程組有且只有一解；
即ax²+（b-1）x=0有兩個相同的實根，
∴．∴函數f（x）的解析式為．（7分）
（其它做法相應給分）

（II）∵不等式f（x-t）≤x的解集為[4，m]（m＞4）
即的解集為[4，m]．
∴方程的兩根為4和m．
即方程x²-2tx+t²-2t=0的兩根為4和m．
∴
解得，t=8，m=12，∴t和m的值分別為8和12．（13分）
點評：此題主要考查二次函數的解析式求解及根的求解和性質．