Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PA

|+|

PB

|=10
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求

PA

•

PB

的最小值；
（3）若Q（1，0），試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上是否存在M、N兩點(diǎn)，滿足

NQ

=

4

3

QM

？若存在求出M、N的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出．
（2）點(diǎn)P與A，B顯然構(gòu)成焦點(diǎn)三角形，利用焦點(diǎn)三角形中三邊關(guān)系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出

PA

•

PB

范圍，進(jìn)而求出最小值．
（3）先假設(shè)存在M、N兩點(diǎn)，滿足

NQ

=

4

3

QM

，再將過(guò)（1，0）的直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找到關(guān)于m的方程，即可求解

解答：解（1）∵

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PA

|+|

PB

|=10，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10∴a=5，b=3．
橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=|

PA

||

PB

|

| PA |2+| PB |2-4c2

2| PA || PB |

=2a²-2b²-|

PA

||

PB

|=18-|

PA

||

PB

|≥18-

(| PA |+| PB |)2

4

=-7，∴

PA

•

PB

的最小值為-7
（3）假設(shè)存在M、N兩點(diǎn)，滿足

NQ

=

4

3

QM

，則M，Q，N共線，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

NQ

=

4

3

QM

，可得

1-x2= 4 3 x1-1 -y2= 4 3 y1

，∴y2=-

4

3

y1．①
設(shè)方程為x=my+1，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，（9m²+25）y²+18my-216=0，
y₁+y₂=-

18m

9m2+25

，y₁y₂=-

216

9m2+25

，把①代入，得y₁=

54m

9m2+25

，y₁²=

162

9m2+25

∴m=

5

3

或-

5

3

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了直線與橢圓的關(guān)系，解題時(shí)要耐心細(xì)致，重點(diǎn)掌握．