Question

方程x⁵+x-3=0有多少個實數解？你能證明自己的結論嗎？如果方程有解，請求出它的近似解（精確到0.1）．

Answer 1

解：考查函數f（x）=x⁵+x-3，
∵f（1）=-1＜0，f（2）=31＞0，
∴函數f（x）=x⁵+x-3在區間（1，2）有一個零點x₀．
∵函數f（x）=x⁵+x-3在（-∞，+∞）上是增函數，
∴方程x⁵+x-3=0在區間（1，2）內有唯一的實數解．
取區間（1，2）的 中點x₁=1.5，用計算器算得f（1.5）≈6.09＞0，∴x₀∈（1，1.5）．
同理，可得x₀∈（1，1.25），x₀∈（1.125，1.25），x₀∈（1.125，1.1875），x₀∈（1.125，1.156 25），x₀∈（1.125，1.1406 25）．
由于|1.1406 25-1.125|＜0.1，此時區間（1.125，1.1406 25）的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.1．
分析：先證明方程x⁵+x-3=0在區間（1，2）內有唯一一個實數解，可先函數f（x）=x⁵+x-3在（1，2）內為單調函數，再結合根的存在性定理即可．求解可用二分法．
點評：本題考查根的存在性定理、用二分法求根，考查計算能力．