Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-a|．
（I）若不等式f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a，m的值．
（II）當a=2時，解關于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）（t≥0）．

Answer 1

分析：（I）根據絕對值不等式的解法，我們可得f（x）≤m的解集a-m≤x≤a+m，再由已知中f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，由此可以構造一個關于a，m的二元一次方程組，解方程組，即可得到答案．
（II）當a=2時，f（x）+t≥f（x+2t）可以轉化為|x-2+2t|-|x-2|≤t，分t=0，t＞0兩種情況，分別解不等式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
所以

a-m=-1 a+m=5

解之得

a=2 m=3

為所求．…（3分）
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）?|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
當t=0時，不等式①恒成立，即x∈R；
當t＞0時，不等式①?

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

解之得x＜2-2t或2-2t≤x≤2-

t

2

或x∈?，即x≤2-

t

2

；
綜上，當t=0時，原不等式的解集為R，
當t＞0時，原不等式的解集為{x|x≤2-

t

2

}．…（10分）

點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，其中根據“大于看兩邊，小于看中間”或“零點分段法”去掉絕對值符號，將原不等式轉化為整式不等式，是解答本題的關鍵．