Question

若二次函數f（x）=ax²-4x+c的值域為[0，+∞），則

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知，a＞0，△=0，從而求出ac=4，將所求式子中的4代換成ac，利用裂項法進行整理，進而利用均值不等式求出最小值．

解答：解：∵二次函數f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），
∴a＞0，△=16-4ac=0，
∴a＞0，c＞0，ac=4，
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a

c(a+c)

+

c

a(a+c)

=

1

c

-

1

a+c

+

1

a

-

1

a+c

=

1

a

+

1

c

-

2

a+c

≥2

1 ac

-

2

2 ac

=

1

2

，
當且僅當a=c=2時取等號．
故答案為

1

2

．

點評：利用基本不等式求函數最值是高考考查的重點內容，對不符合基本不等式形式的應首先變形，然后必須滿足三個條件：一正、二定、三相等．同時注意裂項法的運用．