Question

【題目】若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式

對一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(－2，3)。

【解析】

（1）對于anbn＋bn＝nbn＋1.令n=1可求得a1＝1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an＝2n－1。進(jìn)而anbn＋bn＝nbn＋1可變?yōu)?/span>2bn＝bn＋1，可得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得bn＝2n－1. （2）根據(jù)已知條件應(yīng)先求得cn＝＝，由特點(diǎn)根據(jù)錯位相減法可求得Tn＝4－.則不等式(－1)nλ<Tn＋，化為(－1)nλ<4－，對n分奇數(shù)、偶數(shù)討論，根據(jù)不等式恒成立可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

(1) ∵數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴ n＝1時，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又?jǐn)?shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∴ 2nbn＝nbn＋1，化為2bn＝bn＋1，

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

∴bn＝2n－1.

(2)由數(shù)列{cn}滿足cn＝＝＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴ Tn＝＋＋…＋＋，

兩式作差，得

∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，

∴Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化為(－1)nλ<4－，

當(dāng)n＝2k(k∈N*)時，λ<4－，取n＝2，

∴λ<3.

當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時，－λ<4－，取n＝1，

∴λ>－2.

綜上可得：實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－2，3).