Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷f （x）在[-1，1]上的單調性，并證明你的結論；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由單調性定義判斷和證明；
（2）由f（x）是奇函數和（1）的結論知f（x）在上[-1，1]是增函數，再利用定義的逆用求解；
（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再轉化為關于a的不等式恒成立問題求解．

解答：解：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）∵f（x）在[-1，1]上為增函數，
故有

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

由此解得{x|-

3

2

≤x＜-1}
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是增函數，
且f（1）=1，故對x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
即g（a）=t²-2at對a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故

t＞0 g(1)≥0

或

t≤0 g(-1)≥0

解得：t≤-2或t=0或t≥2．

點評：本題主要考查單調性和奇偶性的綜合應用及函數最值、恒成立問題的轉化化歸思想．