Question

已知點G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x軸上有一點M，滿足||=||， (∈R)．
⑴求點C的軌跡方程；
⑵若斜率為k的直線l與點C的軌跡交于不同兩點P，Q，且滿足||=||，試求k的取值范圍．

Answer 1

⑴設(shè)C(x, y)，則G(,)．∵(∈R)，∴GM//AB,
又M是x軸上一點，則M(, 0)．又||=||，
∴，
整理得，即為曲線C的方程．
⑵①當(dāng)k=0時，l和橢圓C有不同兩交點P，Q，根據(jù)橢圓對稱性有||=||．
②當(dāng)k≠0時，可設(shè)l的方程為y=kx＋m，
聯(lián)立方程組   y=kx＋m

消去y，整理行(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)=0（*）
∵直線l和橢圓C交于不同兩點，
∴△=(6km)²－4(1＋3k²)×( m²－1)＞0，即1＋3k²－m²＞0．         (1)   
設(shè)P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，則x₁, x₂是方程（*）的兩相異實根，∴x₁＋x₂=－
則PQ的中點N(x₀, y₀)的坐標(biāo)是x₀==－，y₀= kx₀＋m=，
即N(－, )，
又||=||，∴⊥，
∴k·k_AN=k·=－1，∴m=.
將m=代入(1)式,得 1＋3k²－()²＞0（k≠0），
即k²＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．
綜合①②得，k的取值范圍是(－1, 1)．

本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線等基礎(chǔ)知識，又考查動點的軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系.通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎(chǔ)知識和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標(biāo)化，幾何問題代數(shù)化.對題目的要求：有較大的難度，有特別的解題思路、演變角度，要有一定的梯度.