Question

【題目】設(shè)， ，函數(shù)， .

（Ⅰ）若與有公共點，且在點處切線相同，求該切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值但無零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)， 時，求在區(qū)間的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）.

【解析】試題分析：（1）利用切線的幾何意義求切線的斜率；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值，只需極小值大于0或極大值小于0即可求出；（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性及極值，再結(jié)合定義域分析函數(shù)再區(qū)間上的最小值．

試題解析：（Ⅰ）由得

；

在點的切線方程為 ，即．

（Ⅱ）當(dāng)時，由恒成立，可知函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，此時無極值．

當(dāng)時，由得；由得； 得．

于是， 為極大值點，且 ．

由于函數(shù)無零點，因此 ，解得

（Ⅲ）不妨設(shè)得 ．

設(shè)， ，

設(shè)的兩根為， ；且，由得， 且．

．

時；

時；

時．

在遞增， 遞減．

①當(dāng)時，即解得時， ， 在遞減；

．

②當(dāng)時，即解得時， ， 在遞增；

．

③當(dāng)時，即時， 在遞增， 遞減；

．

（i）當(dāng)時， ，

．

（ii）當(dāng)時， ，

．

綜合①、②、③得在區(qū)間的最小值；

．