Question

已知a＞0，函數f（x）=

ex

a

+

a

ex

在R上滿足f（-x）=f（x），其中e為自然對數的底數　
（1）求實數a的值  
（2）證明：函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質得：f（-1）=f（1），代入解析式化簡求出a的值；
（2）由（1）求出f（x），再由單調性的定義進行證明，即取值、作差、變形、定號、下結論．

解答：解：（1）∵f（-x）=f（x），∴f（-1）=f（1）
即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，

1

ea

+ae=

e

a

+

a

e

即(

1

e

-e)

1

a

=a(

1

e

-e)，
∴

1

a

=a(a＞0)，解得a=1------（4分）
（2）由（1）得，f（x）=e^x+e^-x
設（0，+∞）上任意兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂------（1分）
則f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+

ex2-ex1

ex1ex2

=(ex1-ex2)(1-

1

ex1+x2

)
=

(ex1-ex2)(ex1+x2-1)

ex1+x2

------（4分）
∵0＜x₁＜x₂且y=e^x在R為增函數，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex1+x2＞e0=1------（2分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．------（1分）

點評：本題考查了奇函數的性質應用，以及單調性的定義進行證明的步驟，即取值、作差、變形、定號、下結論，關鍵是變形一定要徹底，化為因式相乘除的形式．