Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為上位于第一象限的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點．

(1)若當點的橫坐標為，且為等邊三角形，求的方程；

(2)對于(1)中求出的拋物線，若點，記點關于軸的對稱點為，交軸于點，且，求證：點的坐標為，并求點到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)證明見解析，

【解析】

（1）由拋物線焦半徑公式知，根據等邊三角形特點可知，從而得到點坐標；利用中點坐標公式求得中點；根據可構造方程求得，從而得到所求方程；（2）設直線的方程為：，，，將直線方程與拋物線方程聯立可得韋達定理的形式；利用三點共線，根據向量共線坐標表示可得，代入韋達定理整理得到點坐標；利用為等腰直角三角形可求得，從而構造出方程求得，根據韋達定理的形式可確定的取值范圍；利用點到直線距離公式可將問題轉化為關于的函數值域的求解問題；利用函數單調性求得所求的范圍即可.

（1）由題意知：，

為等邊三角形

中點為：

由為等邊三角形知：，即軸 ，解得：

的方程為：

（2）設直線的方程為：，，，則

由得：

設，則，

三點共線

即

為等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，則

在上單調遞減