Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，．

（1）求證：平面PAD；

（2）在棱AB上是否存在一點F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，

【解析】

（1）根據已知條件便可證明平面BCE∥平面PAD，從而便得到CE∥平面PAD；
（2）首先分別以AB，AD，AP三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，要使平面DEF⊥平面PCE，則有這兩平面的法向量垂直，設，平面PCE的法向量為，根據即可求出，同樣的辦法表示出平面DEF的法向量，根據即可求出，從而求出的值.

解：（1）設PA中點為G，連結EG，DG，

因為，且，，所以且，

所以四邊形BEGA為平行四邊形，所以，且．

因為正方形ABCD，所以，，

所以，且，

所以四邊形CDGE為平行四邊形，所以．

因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．

(2)如圖，建立空間坐標系，則，，，，，

所以，，．

設平面PCE的一個法向量為，

所以

令，則，所以．

假設存在點滿足題意，則，．

設平面DEF的一個法向量為，

則，

令，則，所以．

因為平面平面PCE，所以，即，

所以，故存在點滿足題意，且．