Question

(滿分14分）設函數.
(1)求的單調區間;
(2)若當時,(其中不等式恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)試討論關于x的方程:在區間[0,2]上的根的個數.

Answer 1

(1)增區間為,減區間為.
(2)時,不等式恒成立.
(3)時,方程無解;
或時,方程有唯一解;
時,方程有兩個不等的解.

(1)直接利用導數大（小）于零，求其單調增（減）區間即可.
(2)利用導數求f(x)的最大值，則.
(3)即
然后令,再利用導數確定g(x)的單調區間和極值，畫出草圖，觀察直線y=a在什么范圍變化時，它與y=g(x)有不同的交點.
(1)函數的定義域為.      ……… 1分
由得;  ……… 2分                    
由得,       ………3分
則增區間為,減區間為.      ………4分
(2)令得,
由(1)知在上遞減,在上遞增,  ………6分
由,且,     ……… 8分
時, 的最大值為,
故時,不等式恒成立.  ………9分
(3)方程即.記,則
.由得;由得.
所以在上遞減;在上遞增.
而,   ………10分
所以,當時,方程無解;
當時，方程有一個解;
當時,方程有兩個解;
當時,方程有一個解;
當時,方程無解.               ………13分
綜上所述,時,方程無解;
或時,方程有唯一解;
時,方程有兩個不等的解.     ………14分