Question

（本小題滿分14分）

如圖①邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別

為AB、BC的中點，將△BEF剪去，將

△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、

C兩點重合于點P得一個三棱錐如圖②示.              

（1）求證：;

（2）求三棱錐的體積；                

（3）求DE與平面PDF所成角的正弦值.                                                        

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；

(2) ．

 (3)     

【解析】本試題主要考察了線面角的求解，以及垂體的體積的運用，和線線垂直的證明的綜合運用。

（1）依題意知圖①折前,∴,

∵    ∴平面又∵平面，利用線面垂直的性質定理得到結論。

（2）三棱錐的體積可以利用轉換頂點的思想來求解得到。

（3）根據由（2）知  又     ∴平面

∴為DE與平面PDF所成的角，然后借助于三角形得到求解。

（1）證明：依題意知圖①折前,∴,

∵    ∴平面又∵平面      

 ∴

(2)解法1：依題意知圖①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,

在中，

∴

∴．

【(2)解法2：依題意知圖①中AE=CF= ∴PE= PF=，

在△BEF中,

取EF的中點M，連結PM

則,∴

∴

∴．

 (3) 由（2）知  又     ∴平面

∴為DE與平面PDF所成的角，

在中，∵, 

∴