Question

設函數f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判斷函數y=f（x）的圖象是否為中心對稱圖形？若是，請求其對稱中心；否則說明理由．
（II）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
（III） 將函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位后與拋物線y=ax²（a為非0常數）的圖象有幾個交點？（說明理由）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（2）=3，f′（2）=0，聯立方程即可求得a，b值，得f（x）解析式，然后構造奇函數g（x），根據f（x）與g（x）的關系可得f（x）的對稱性；
（II）在曲線上任取一點(x0，x0+

1

x0-1

)．  利用導數可得切線斜率，根據點斜式可得切線方程，分別聯立切線方程與x=1，y=x的方程可得三角形定點，利用三角形面積公式即可求得定值；
（III）將函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位后得到的函數為y=f(x+1)=x+

1

x

+1，它與拋物線y=ax²的交點個數等于方程x+

1

x

+1=ax²的解的個數．分離出參數a后構造函數，利用導數可判斷函數的單調性并求得其值域，由此可得結論；

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

(x+b)2

，
曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3，
于是

f(2)=2a+ 1 2+b =3 k=f′(2)=a- 1 (2+b)2 =0

，解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3 .

，
因a，b∈Z，故f(x)=x+

1

x-1

．令g(x)=x+

1

x

，滿足g(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-g(x)，
所以g（x）是奇函數，其圖象是以原點（0，0）為中心的中心對稱圖形．                         
而函數g（x）的圖象按向量

a

=（1，1）平移，即得到函數f(x)=x-1+

1

x-1

+1的圖象，
故函數f（x）的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形．                          
（（II）證明：在曲線上任取一點(x0，x0+

1

x0-1

)．  
 由f′(x0)=1-

1

(x0-1)2

知，過此點的切線方程為y-

x 2 0 -x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

](x-x0)．                 
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切線與直線x=1交點為(1，

x0+1

x0-1

)．                   
令y=x得y=2x₀-1，切線與直線y=x交點為（2x₀-1，2x₀-1）．
直線x=1與直線y=x的交點為（1，1）．                                     
從而所圍三角形的面積為S=

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x0-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

||2x0-2|=2．
所以，所圍三角形的面積為定值2．                                        
（III）將函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位后得到的函數為y=f(x+1)=x+

1

x

+1，
它與拋物線y=ax²的交點個數等于方程x+

1

x

+1=ax²的解的個數．
方程x+

1

x

+1=ax²等價于a=

1

x3

+

1

x2

+

1

x

，即a=t³+t²+t（t≠0），
記G（t）=t³+t²+t（t≠0），G′（t）=3t²+2t+1，△=2²-4×3×1＜0，
∴G′（t）＞0，G（t）=t³+t²+t在R上為單調遞增函數，
且G（t）=t（t²+t+1），t→∞時t²+t+1→+∞，G（t）的值域為R，
所以y=a（a≠0）與y=G（t）（t≠0）有且只有一個交點，即將函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位后，
與拋物線y=ax²有且只有一個交點．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、利用導數研究曲線的切線方程，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．