Question

給出下列命題：
（1）函數f（x）=tanx有無數個零點；
（2）若關于x的方程（(

1

2

)|x|-m=0有解，則實數m的取值范圍是（0，1]；
（3）把函數f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個單位后，得到的函數解析式可以表示成f（x）=2sin2（x+

π

6

）；
（4）函數f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（5）已知函數f（x）=2cosx，若存在實數x₁，x₂，使得對任意的實數x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π．
其中正確的命題有

3

個．

Answer 1

分析：（1）由正切函數f（x）=tanx的性質即可判斷其正誤；
（2）利用指數型函數y=(

1

2

)|x|的性質即可判斷（2）的正誤；
（3）由三角函數的圖象變換即可知（3）的正誤；
（4）利用函數f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的性質可求其值域，從而可知（4）的正誤；
（5）利用余弦函數f（x）=2cosx的性質可判斷（5）．

解答：解：（1）由y=tanx=0可得x=kπ（k∈Z），故函數f（x）=tanx有無數個零點，正確；
（2）∵(

1

2

)|x|-m=0有解?曲線y=(

1

2

)|x|與y=m有公共點，
∵指數型函數y=(

1

2

)|x|的值域為（0，1]，
∴實數m的取值范圍是（0，1]，正確；
（3）∵f（x）=2sin2x，
∴把函數f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個單位后，得f（x+

π

6

）=2sin2（x+

π

6

），故（3）正確；
（4）∵f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（4）錯誤；
（5）不妨令x₁=π，x₂=0，滿足對任意的實數x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，故|x₁-x₂|的最小值為π，
∴（5）錯誤．
綜上所述，正確的命題有3個．
故答案為：3．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查正切函數的性質，考查指數型函數、三角函數的圖象變換、正弦型函數與余弦函數的性質的綜合應用，屬于中檔題．